** Étude de l'uranium 235

L'uranium 235 est le principal combustible des centrales nucléaires, il est radioactif et se désintègre avec le temps. Comme pour tout élément radioactif, le nombre d'atomes d'uranium 235 est réduit de moitié au bout d'un temps appelé demi-vie. La demi-vie de l'uranium 235 est d'environ \(700\) millions d'années.

On va étudier ici la quantité d'uranium au fil des demi-vies.
On note alors \((u_n)\) la masse d'uranium 235, exprimée en grammes, après \(n\) demi-vies.

1. Soit \(u_0\) la masse d'uranium initiale, exprimée en grammes. Donner une relation entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\) pour tout \(n\) entier naturel. En déduire la nature de la suite \((u_n)\).
2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Déterminer le nombre de demi-vies nécessaires pour que \(90~\%\) de la masse initiale d'uranium se soit désintégrée. Exprimer ce résultat en millions d'années.
4. À la lumière des calculs effectués, expliquer pourquoi l'uranium se trouve à l'état naturel dans les mers et dans les terres de tous les continents.
5. On souhaite déterminer le nombre de demi-vies nécessaires pour que \(99{,}9~\%\) de la masse initiale d'uranium se soit désintégrée. Réaliser un algorithme permettant de résoudre ce problème.